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【已知四边形ABCD的四条边满足:AB2+CD2=BC2+DA2,求证:AC⊥BD就是平方】
更新时间:2024-04-27 13:29:43
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问题描述:

已知四边形ABCD的四条边满足:AB2+CD2=BC2+DA2,求证:AC⊥BD

就是平方

李湃回答:
  用余弦定理即可.假设两条对角线相交形成4个线段和4个角(2对对顶角).   四线段命名为a,b,c,d,角用角1和角2表示.   根据余弦定理:   AB2=a2+b2-2ab*cos(角1)   CD2=c2+d2-2cd*cos(角1)   AD2=a2+d2-2ad*cos(角2)   BC2=c2+b2-2cb*cos(角2)   且角1=180-角2,也就是cos(角1)=-cos(角2)   再加上题目条件AB2+CD2=AD2+BC2,代入后得   (ab+cd+ad+bc)cos(角1)=0   因为a,b,c,d都大于0,所以cos(角1)=0,那么角1就是90度,角2=180-角1=90度   完毕
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