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高中数学已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),e=根号5/2,焦点到渐近线的距离为1。求双曲线C的方程
更新时间:2024-03-28 18:44:01
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问题描述:

高中数学

已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),e=根号5/2,焦点到渐近线的距离为1。求双曲线C的方程

李鑫杰回答:
  焦点到渐近线的距离为1,因为渐进线有两条,所以有两种情况进行讨论。   1、相邻渐近线情况:   设焦点坐标为F1(c,0),则准线方程L=a^2/c,所以:   c-a^2/c=1   即:c^2-a^2=c   e^2=a^2/c^2=(√5/2)^2,即a^2=5c^2/4.   代入上式得到:   c^2-5c^2/4=c   得到:c=-4,   则a^2=20,b^2=4,所以双曲线的方程为:x^2/20-y^2/4=1.   2、远渐近线情况:   设焦点坐标为F1(c,0),则准线方程L=-a^2/c,所以:   c-(-a^2/c)=1   即:c^2+a^2=c   e^2=a^2/c^2=(√5/2)^2,即a^2=5c^2/4.   代入上式得到:   c^2+5c^2/4=c   得到:c=4/9,   则a^2=20/81,b^2=4/81,所以双曲线的方程为:81x^2/20-81y^2/4=1.
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