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【一道圆锥曲线题点M是椭圆x^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点F,圆M与Y轴相交于P、Q,若三角形PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是】
更新时间:2024-04-22 00:58:33
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问题描述:

一道圆锥曲线题

点M是椭圆x^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点F,圆M与Y轴相交于P、Q,若三角形PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是

宋宝回答:
  由条件M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点F,得MF垂直于x轴,MF=b^2/a,   所以圆的半径r=b^2/a=MP=MQ,三角形PQM是钝角三角形,则角PMQ>90度,   取PQ中点R,则MR垂直于y轴,RT三角形PMR中MP=b^2/a,MR=c,角PMR>45度,   所以COS∠PMR=MR/MP=ac/b^2
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