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【(高中数学)若方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根,求c的取值范围.如题:若方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根,求c的取值范围.】
更新时间:2024-03-29 08:03:36
3人问答
问题描述:

(高中数学)若方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根,求c的取值范围.

如题:若方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根,求c的取值范围.

任鸿回答:
  设f(x)=e^x,g(x)=x+1-c   则方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根   等价于f(x)与g(x)图像在[-1,4]有两个不同交点.   由于f(x)是一条递增的上凹曲线,g(x)是一条斜率为1纵截距为1-c的直线   故只需找到两条曲线相切的位置,   和直线经过区间[-1,4]端点时是否为相交,即可解决问题.   ①f'(x)=e^x,直线的斜率为1.   令f'(x)=1,则x=0   即斜率为1的切线与f'(x)相切的切点坐标为(1,e)   此时切线方程为y-e=x-1即y=x+e-1   因此,当1-c>e-1即c<2-e时,函数f(x)与g(x)图像有两个不同交点.   ②直线g(x)=x+1-c过点(-1,1/e)时,   显然c=-1/e,   g(x)=x+1+1/e,   g(4)=5+1/e<6<53<e^4=f(4)   因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]上.   ③直线g(x)=x+1-c过点(4,e^4)时,   显然c=5-e^4   g(x)=x+6-e^4   g(-1)=5-e^4<0<1/e=f(-1)   因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]之左侧.   总之,当-1/e<c<2-e时方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根.
钱萌回答:
  -1/e<c<2-e这个怎么可能。
任鸿回答:
  不好意思,打字出现了错误。正设f(x)=e^x,g(x)=x+1-c则方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根等价于f(x)与g(x)图像在[-1,4]有两个不同交点。由于f(x)是一条递增的上凹曲线,g(x)是一条斜率为1纵截距为1-c的直线故只需找到两条曲线相切的位置,和直线经过区间[-1,4]端点时是否为相交,即可解决问题。①f'(x)=e^x,直线的斜率为1.令f'(x)=1,则x=0即斜率为1的切线与f(x)相切的切点坐标为(0,1)此时切线方程为y-1=x即y=x+1因此,当1-c>1即c<0时,函数f(x)与g(x)图像有两个不同交点。②直线g(x)=x+1-c过点(-1,1/e)时,显然c=-1/e,g(x)=x+1+1/e,g(4)=5+1/e<6<53<e^4=f(4)因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]上.③直线g(x)=x+1-c过点(4,e^4)时,显然c=5-e^4g(x)=x-4+e^4g(-1)=-5+e^4>48>1>1/e=f(-1)因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]之左侧.总之,当-1/e<c<0时方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根.
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